泛谈矩阵AB与BA的相关性质

ousir

首先得保证AB与BA有意义,即存在.无妨设A∈R(n×m),B∈R(m×n),其中n＞m,则AB∈R(n×n),BA∈R(m×m),这里R代表线性空间的意思.先讨论AB,BA之间特征值的关系.
设AB的特征值λ对应的特征向量为ξ，ξ≠0,则有: ABξ=λξ ★,  再两边同时左乘矩阵B有:  BABξ=λBξ，即 BA(Bξ)=λ(Bξ), 只要Bξ≠0,则说明BA与AB有相同的特征值.下面予以证明.
     PF:1.先设λ≠0  则利用反证法有：若  Bξ=0，则由★式有  A（Bξ）=0=λξ，又ξ≠0(ξ是特征向量，当然不能为0)，所以只能是λ=0，而这与前面的假设λ≠0矛盾     因此当λ≠0时，Bξ≠0,   即此时AB与BA有相同的非零特征值λ。
           2.当时 由特征向量多项式有：|λE-AB|=0=|-AB|    又前面设了n＞m,所以|-AB|≠|-BA|，即：|λE-AB|=0=|-AB| ≠  |-BA|，因此当λ=0时，它并不一定是BA的特征值。另外，若n=m,则有：|λE-AB|=|0E-AB|=0=|-AB| = |-BA|=|0E-BA|，则说明λ=0也是BA的特征值
     综之：1.当n=m时，AB与BA有完全相同的特征值，  
                 2.当n≠m时，AB与BA有相同的非零特征值，它们可能有相同的特征值，下面予以分析。
     AB∈R(n×n),BA∈R(m×m),因此在复数域C上AB有n个特征值（包括重数特征值），BA有m个特征值（包括重数特征值）。记AB的非零特征值个数为 K 个，则 K≤m, （若 K＞m，则可导出BA的特征值个数大于m，而这是不可能的）。因此当K＜m时，AB与BA有完全相同的特征值，只是λ=0是AB的（n-k）次特征值，是BA的（m-k）次特征值；当k=m时，AB与BA有相同的非零特征值，λ=0不是BA的特征值，它是AB的（n-m）次特征值。
                 下面讨论秩的关系，在上面的基础上就变得十分容易了。复数域C上AB有n个特征值（包括重数特征值），BA有m个特征值（包括重数特征值），则AB=P'TP,BA=L'QL，其中P'与P互为正交阵，T为以AB特征值为对角线元素的对角阵；L'与L互为正交阵，Q为以BA特征值为对角线元素的对角阵,   由1,2有，无论m与n关系怎样，AB与BA总有相同的非零特征值，因此P'与L'的对角线上非零元素是一样多的， 此即说明AB与BA有相同的秩，（相似矩阵秩相同，AB~T，BA~Q，而T与Q有相同的秩）。
                  理所当然，AB与BA有相同的迹，即tr(AB)=tr(BA)，这是因为矩阵的迹等于其对角线元素之和，也等于所有特征值之和，AB与BA有相同的非零特征值，因此它们的迹相同，即对角线元素之和相等

345543z

复数域。。。

kobejyj

不错，今天刚看了一道题目，陈文灯15套上的，就用的这个方法

ousir

实际上还有：|λE(n）-AB|=λ^(n-m)|λE（m）-BA|,E(n)表示n阶单位矩阵，E(m)表示m阶单位矩阵。

aK4ever

有个问题，你证明AB以及BA有相同秩以及迹的时候，“AB=P'TP,BA=L'QL”此时AB不一定可以对角化吧，而且怎么可以说P是正交矩阵呢？除非AB是实对称……有点不大明白

老实人啊

太多拉，不看

aK4ever

越看越不对劲，举例 矩阵A  a11=1， a12=1/2，a21=2，a22=1，矩阵B  b11=2，b12=-1，b21=-2，b22=1。可以明显地看出AB的特征值为0和2，BA=0 所以它的特征值为0和0，那么AB与BA没有相同的特征值，但是此时n=m阿？楼住你的证明似乎不是太对劲。麻烦在看看，还是这个证明是你自己写的，有什么疏漏，小弟才疏学浅，全当抛砖引玉……

269057460

楼上的AB的特征值也是0,0