再问"数学期望存在"是否必须满足"绝对收敛"?

liqi2008

1.问题的由来:
有一天有习题说到"数学期望存在"必须满足"绝对收敛"的前提，我以前都没有注意到，我查了下教材（说得不是很明确）,好象必须满足。
那么满足"绝对收敛"即S |xf(x)| dx收敛,但是数学期望E(x)=S xf(x) dx却不一定等于前者！！！！

又有一天,我看到陈文登理工08版第564页例4.5说"...数学期望存在,即S |xf(x)| dx收敛..."
此题若不用"绝对收敛"的前提,那么求出来的积分就是零（答案就要选辛钦大数定理适用）；
但满足"绝对收敛"的前提求出来的积分就是无穷不存在（答案就要选辛钦大数定理不适用，陈文登即是此答案）

2.两个待大家回答的问题:
(1)看来好象必须满足"绝对收敛"的前提了，哪位大侠给指点一下，给我肯定的答复，谢谢！！！！
(2)我接着问:"绝对收敛"是"数学期望存在"的充要条件吗?若是考试中遇见，我是否给出肯定充要条件的回答呢，谢谢！！！！

3.附属
我这个问题，曾简单的发过帖，可基本没人理我，今天我说得详细一些，希望对自己和大家有帮助，大家加油:-)

静海听风

要求绝对收敛的原因是：级数应不因项的顺序变化而改变其和,对于积分也应满足这一要求。

静海听风

期望的通俗概念就是平均数，条件收敛的值并不能作为原数列的平均数，因为它可能是加减运算后的数列的平均值。只有绝对收敛才是不能做任何变化的数列的平均数。

mhk1985

数学期望定义是E(X)=S xf(x) dx;

单从式子的意义来看只要Sxf(x) dx收敛就行了（所以数学期望计算的就是条件收敛的值。）

但“期望”要强加级数Sxf(x) dx为绝对收敛这一条件，这是因为数学期望往往是通过从总体中抽样算出的，

  由大数定理和中心极限定理知，当从总体抽出的样本数很大时，其样本值的算术平均值就趣向与总的

    期望（当然我说的是离散型的 连续可作类似的理解），因为抽样是随机的，所以通过从总体中抽样算出的
      
      总体的期望就要求级数Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和,对于积分也应满足这一要求。

         而Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和（比如交错级数收敛，但其偶数项或奇数项不一定收敛）

           也要求它绝对收敛   

所以数学期望要求Sxf(x) dx绝对收敛，Sxf(x) dx绝对收敛一定能推出Sxf(x) dx收敛，推出数学期望存在。故级

      数Sxf(x) dx收敛是期望存在的充分必要条件。

mhk1985

所以数学期望要求Sxf(x) dx绝对收敛，Sxf(x) dx绝对收敛一定能推出Sxf(x) dx收敛，推出数学期望存在。故级

      数lSxf(x)i dx绝对收敛是期望存在的充分必要条件。