【华工考研院】808结构力学考研考点分析：矩阵位移法！

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第八章 矩阵位移法

1.基本思路：

a.先把结构离散成单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。

b.在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析，建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚度方阵，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。

2.单元刚度方程为单元的杆端力与杆端位移之间的关系式：

a.单元刚度矩阵是对称方阵；

b.几何不变体系的特殊单元刚度矩阵是奇异矩阵，不能有杆端力求杆端位移；

c.单元刚度矩阵中各元素的意义如下：

kij表示第j个杆端位移分量等于1时引起的第i个杆端力分量；

第i行元素的意义是当6个杆端位移分量分别等于1时，引起的第i个杆端力分量的值；

第j列元素的意义是当第j个杆端位移分量等于1时，引起的6个杆端力的值。

d.单元刚度矩阵只与单元的刚度和长度有关。

3.坐标变换矩阵是一个正交矩阵

4.集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，又可分为后处理法和先处理法。

后处理法：按单元的节点编号，将单元刚度矩阵分为四个子块，逐块地将结点所对应的子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原始刚度矩阵，每个节点位移分量数为3的平面刚架，结构原始刚度矩阵的阶数为3n*3n.

先处理法：将单元刚度矩阵先按边界条件处理，即只取实际发生的结点位移为未知量，形成总刚过程中，引入定位向量。

5.弹性支座的处理：

通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到约束处理后的刚度方程。

6．总刚度方程为整体结构的节点荷载与结点位移之间的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构，其总刚度方程都具有统一的形式：[K][△]={P}

7.关于总刚度矩阵[K]:先处理法与后处理法。

a.元素Kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为零时产生在△i方向的杆端力；

b.主子块[KII]是由结点i的相关单元中结点i相对应的主子块叠加而成。

c.当i,j为相关单元结点时，副主子块Kij就等于连接ij的杆单元中相应的子块；若i,j不相关，则Kij为零子块。

d.总刚度矩阵为对称矩阵。

e.总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。越是大型结构，带状分布规律越明显。

f.总刚度矩阵主对角元素都大于零。

相关单元：同交于一个结点的各杆件为该结点的相关单元。

相关结点：两个节点之间有杆件直接相连者为相关结点。

8.一些计算公式：（于玲玲编参考书P037-309）

（与坐标变换矩阵相乘时，注意结合线性代数的知识进行矩阵运算，提高运算速度。）

9.不需坐标变换的几种情况：

a.多跨连续梁。

b.只有转角未知量的杆件，无论局部坐标是否与整体坐标一致，都可以取2*2的特殊单元，且不需要坐标变换；

c.若单元的一端为固定端，无结点位移未知量，则可将该单元的[k]e取为3*3的特殊单元刚度矩阵，即划掉位移为零的一端对应的行和列，[T]也相应取为3*3的矩阵进行变换。（具体问题具体分析，不可生搬硬套）

10.矩形刚架忽略轴向变形时，形成整体刚度矩阵的简便方法：

a.建立局部坐标时，每一单元杆件的局部坐标体系下，侧向位移V和转角位移θ的方向与结构坐标系（总体坐标系）。（顺时针坐标系和逆时针坐标系不同）。

b.将局部坐标系的单元刚度矩阵划去轴向变形相应的行与列。

c.此时局部坐标系的杆端位移与整体坐标系的杆端位移一致，可直接由单元刚度矩阵进行定位与集成。

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