高代习题求解答

天涯有路做知己

哪位同学可帮我看下这道题应该怎么做？

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孤峰秋恋

题目呢？

天涯有路做知己

孤峰秋恋 发表于 2017-10-9 18:02
题目呢？

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天涯有路做知己

第六题，不明思路

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不鬼

习题不看答案都没有思路。。怎么办，证明题看定理磕磕巴巴做下来了，计算题不懂。。

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清心台

因为$A_i$是实对称矩阵, $A_i$的特征值全是实数, 设$\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}$为$A_i$的特征值, $i=1,2,\cdots, m$. 因为$A_iA_j=A_jA_i$,  存在正交矩阵$Q$使得
$$Q^TA_iQ=diag(\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}), i=1,2,\cdots, m.$$
因为相似矩阵有相同的迹, $tr(A_iA_j)=tr(Q^TA_iQ\cdot Q^TA_jQ)=\sum\limits^n_{k=1}\lambda_{ik}\lambda_{jk}$.

令$\alpha_i=(\lambda_{i1}, \lambda_{i2},\cdots, \lambda_{in})^T, i=1,2,\cdots,m$,  因此由已知可得$\alpha_i^T\alpha_i=1, \alpha_i^T\alpha_j=0, i\neq j, i,j=1,2,\cdots, m$. 于是
$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$是$n$维欧氏空间$\R^n$的两两正交的单位向量, 从而是线性无关的, 因此$m\leq n$.