介绍个证明拉格朗日和柯西中值定理的小技巧——K值法

我要研了 · 发表于 2017-4-18 14:46

1、拉格朗日中值定理
一般形式写为f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)或f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
用K替换f'(ξ)，就变为了f(b)-f(a)=K(b-a)，
变形为对称形式f(b)-Kb=f(a)-Ka。
吧a或b换成x构造函数F(x)=f(x)-Kx，利用罗尔中值定理即可。

2、柯西中值定理
形式为[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)，
同样的用K把式子右边替换掉，变成[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=K，
变形为对称形式f(b)-Kg(b)=f(a)-kg(a)，
然后构造函数利用罗尔即可。