汤家凤讲的拉格朗日中值定理是不是有错误？还是我错了？

tpwonline · 发表于 2017-4-13 23:39

最近在做汤帅的1800，碰到一道题：
设 f(x) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在 ξ，η属于(a,b)，使得f ' (ξ) + f ' (η) = 0.

这道题答案用的找3个点（即0,1,1/2），于是我就产生了怀疑，我觉得完全没必要这么做啊，他又没说 ξ，η 两个点不能相等，所以我直接用了两次拉格朗日中值定理，就把这题做出来了，虽然觉得有些问题，但不知道是哪里的问题。

后来我先查了下汤帅的基础视频，他确实讲了双中值的问题，但他没讲 ξ，η 是否相同的问题，只讲了一种简单型和一种复杂型。

而我又查了一下高昆仑的十八讲视频，高昆仑在十八讲里明确讲到双中值 ξ＝η和 ξ≠η 的情况，而且在 ξ≠η 的情况下才会用找三点的方法，而且相关例题也是明确标明了“存在不同 ξ，η”。

高昆仑讲的和我想的是一样的，所以我觉得汤帅这里是不是讲得有些问题，求牛人解答一下，看看到底是汤帅有不严谨的地方还是说我有哪些地方没想到？