2016年考研数学（一）真题

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一、        选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）若反常积分 收敛，则
（A） a<1 且 b> 1       （B） a>1 且 b> 1
（C） a<1 且 a+b>1      （D） a>1 且a+b>1
（2）已知函数  则 的一个原函数是
（A）     （B）
（C）   （D）  
（3）若 ， 是微分方程的两个解，则
（A）       （B）-
（C）          （D）-
（4）已知函数 ，则
（A） 是 的第一类间断点       （B） 是 的第二类间断点
（C） 在 处连续但不可导        （D） 在 处可导
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（5）设A, B是可逆矩阵,且A与B相似，则下列结论错误的是
（A） 与 相似         （B） 与 相似
（C） + 与 + 相似  （D） + 与 + 相似
（6）设二次型 ，则 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
（A）单叶双曲面     （B）双叶双曲面
（C）椭球面         （D）柱面
（7）设随机变量 ，记p=P ，则
（A）p随着 的增加而增加   （B）p随着 的增加而增加
（C）p随着 的增加而减少        （D）p随着 的增加而减少
（8）随机试验E有三种两两不相容的结果 ， ， ，且三种结果发生的概率均为 ，将试验E独立反复做2次，X表示2次试验中结果 发生的次数，Y表示2次试验中结果 发生的次数，则X与Y的相互关系为（此处缺选项）
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二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9） ___________.
（10）向量场 的旋度 =__________.
（11）设函数 可微， 由方程 确定，则 =________.
（12）设函数 ，且 ，则 =         。
（13）行列式 =            。
（14）设 , ,……, 为来自总体 的简单随机样本，样本均值 ，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双置信区间为            。
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三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
已知平面区域  ，计算二重积分 xdxdy.
(16)（本题满分10分）
设函数y(x,y)满足方程 ,其中0＜k＜1.
(Ⅰ)证明：反常积分 收敛；
(Ⅱ)若y(0)=1,          (0)=1,求 的值.
(17)（本题满分10分）
设函数 满足 ，且 ， 是从点（0,0）到点（1， ）的光滑曲线，计算曲线积分 ，并求 的最小值。
（18）（本题满分10分）
设有界区域由平面2 + +2 =2与三个坐标平面围成，∑为 整个表面的外侧，计算曲面积分
=
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（19）（本题满10分）
已知函数f(x)可导，且f(0)=1,0＜ (x)＜ .设数列 满足 1,2, …).
证明：
(Ⅰ)级数 绝对收敛；
       
(Ⅱ)  存在，且0＜ ＜2.
（20）（本题满分11分）
设矩阵
,   .
当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程.
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（21）（本题满分11分）
已知矩阵 .
(Ⅰ) 求 ;
        (Ⅱ)设3阶矩阵B= 满足 .记 ,将 分别表示为 的线性组合.
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y),在区域 ＜x＜1,          ＜y＜ } 上服从均匀分布，令
(Ⅰ)写出（X,Y）的概率密度；
(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由
(Ⅲ) 求Z=U+X的分布函数F(z)       
（23）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其他，
其中 为未知参数。 为来自总体X的简单随机样本，令 max{ }.
（Ⅰ）求T的概率密度；
（Ⅱ）确定a，使得aT为 的无偏估计.
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