求问导数与连续问题！

弱智儿 · 发表于 2015-10-27 15:39

今天我一个同学跟我说，一个连续函数在一点可导，则可推出该函数在这点的领域内也可导，一时间竟找不到反例去反驳，求问这个命题究竟对错？

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 17:54

邻域可以看成区间，区间的可导性是用点的可导性说明的

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 18:00

邻域可以看成区间，区间的可导性是用点的可导性说明的。反例很好举啊,比如|x|在x=0处不可岛，x=0左侧或者右侧的任意一点可导，肯定能找到一点的邻域包含x=0，而这点可岛，但邻域内不可岛

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 18:02

顺便再说一句，如果没说函数连续只说了在某点可岛可以推出在这点的邻域内连续

弱智儿 · 发表于 2015-10-27 20:01

朱金梁发表于 2015-10-27 18:02
顺便再说一句，如果没说函数连续只说了在某点可岛可以推出在这点的邻域内连续 ...

你错了，一点可导只能推出一点连续，不能推出领域连续，反例参考狄利克雷函数。另外|x|的例子也错了，这个函数在0不可导是真的，但是领域是个无穷小的概念，任意一个点和0之间都有无穷多个点，所以不能说领域会包含某个具体的点

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 20:41

亲，你再仔细看看可导定义吧(特别是呆尔塔语言的定义)，还有无论邻域多小，我都能找到一个点使其可导且其邻域包含x=0

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 20:42

这个点不一定能描述出来，但是这个点客观存在…

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 20:43

这个点不一定能描述出来，但是这个点客观存在…

朱金梁 · 发表于 2015-10-27 20:46

对，只能说明在那点连续，但是那个例子是正确的

三峡大学考研 · 发表于 2015-10-27 21:41

好深奥，有个处处连续但处处不可导的魏尔斯特拉斯函数…，你还是去问问数学专业的吧

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[交流答疑] 求问导数与连续问题！