导数的右极限在什么情况下等于右导数？

wxm20092013

做分段函数求导题时，看到解答有这种说明：1.函数f(x)的导数在a点的右极限等于A；2.f(x)右连续，则f(x)的右导数存在且等于A。不明白是怎么推的，望高手解答！谢谢！

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wxm20092013

啊啊，右连续，右导数都是在a点

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灵力崩解

这是导数极限定理，用拉格朗日定理。
设a点存在一个右邻域(a,x)，由a点函数右连续，函数在a的去心邻域可导(由于导函数的极限存在，故去心邻域内导数存在)，可知f(x)在[a,b]上连续，在(a,x)内可导，故满足拉氏定理条件，于是有[f(x)-f(a)]/(x-a)=f`(ξ)，其中ξ是属于(a,x)。
现在令x趋于a+，左侧该极限值就是右导数，因为导函数的右极限存在，右侧ξ在x趋于a+时是函数极限过程的一个特殊的子列，其极限值也是导函数的右极限，故而右导数等于导函数的右极限。

容桂双嬷

灵力崩解 发表于 2015-6-30 19:48
这是导数极限定理，用拉格朗日定理。
设a点存在一个右邻域(a,x)，由a点函数右连续，函数在a的去心邻域可导( ...

这个充分非必要条件出现好几次了。。反例都有了。

灵力崩解

容桂双嬷 发表于 2015-6-30 19:50
这个充分非必要条件出现好几次了。。反例都有了。

高数部分问题最多的是等价无穷小出错，第二多的就是导数和导数极限概念的关联…………很久都这样了……

wxm20092013

灵力崩解 发表于 2015-6-30 19:48
这是导数极限定理，用拉格朗日定理。
设a点存在一个右邻域(a,x)，由a点函数右连续，函数在a的去心邻域可导( ...

明白了，非常感谢！

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灵力崩解

张未劫 发表于 2015-6-30 20:39
左侧极限等于右导数？是怎么回事  是因为在a点连续吗

上面那个等式的左边……就是[f(x)-f(a)]/(x-a)的极限……

容桂双嬷

张未劫 发表于 2015-6-30 20:49
那你的x是趋于a＋还是趋于a-

不要介意是哪边，左右不是一样讨论嘛。。。

灵力崩解

张未劫 发表于 2015-6-30 20:49
那你的x是趋于a＋还是趋于a-

上面过程中一直都在讨论x趋于a+……我说个左侧就只是说等式左侧的那个极限……