诚心请教泰勒级数和泰勒展开

诺顿喵 · 发表于 2015-6-22 14:27

诚心请教
泰勒级数和泰勒展开式的区别！

哪儿会考哪儿 · 发表于 2015-6-22 14:38

泰勒展开是在泰勒级数收敛的前提下展开，存在函数可以泰勒展开，但展开不收敛。泰勒展开的系数是假设收敛的情况下唯一确定的，这是因为泰勒级数的估计是整阶幂级数近似，比如我有一个函数在某一点是无穷小量，并且这个无穷小比任何幂级数都要小，那么泰勒级数的每一项都是0，显然不行。泰勒级数通常有一个余项用来估计误差，泰勒展开通常就用省略号表示了。泰勒展开的用处是在用多项式逼近光滑函数，并且泰勒级数的收敛半径是圆，可以在邻域内讨论函数性态，在圆内一致收敛就可以逐项求导、逐项积分，这使得泰勒展开本身变得容易，并且始终在幂级数函数空间内操作。学了泛函分析以后就知道，对于一定程度光滑的函数空间，幂级数是一个稠密集，这样1, x, x^2等等就相当于空间中的一个无穷维坐标架。泰勒展开的缺点是它只能考虑极限的渐进行为，如果要将函数值域内集体近似的话，就要用傅里叶展开。

诺顿喵 · 发表于 2015-6-22 14:41

哪儿会考哪儿发表于 2015-6-22 14:38
泰勒展开是在泰勒级数收敛的前提下展开，存在函数可以泰勒展开，但展开不收敛。泰勒展开的系数是假设收敛的 ...

没看懂..大神能简单点嘛？

来自iPhone客户端

哪儿会考哪儿 · 发表于 2015-6-22 14:47

诺顿喵发表于 2015-6-22 14:41
没看懂..大神能简单点嘛？

你就把他们当作一样吧，反正考试也不存在不收敛的问题。

诺顿喵 · 发表于 2015-6-22 14:55

哪儿会考哪儿发表于 2015-6-22 14:47
你就把他们当作一样吧，反正考试也不存在不收敛的问题。

等我在理解理解再来看看你这句话的意思。初学！

来自iPhone客户端

哪儿会考哪儿 · 发表于 2015-6-22 15:06

诺顿喵发表于 2015-6-22 14:55
等我在理解理解再来看看你这句话的意思。初学！

给你打个比方吧。比如瞎子测一棵树的质量空间分布，他从1米处切过去，发现没切到，从0.9米处，他凭阻力感觉该段有一个手腕那么粗，从0.8米处切过去，有两个手腕那么粗，不断做下去，这个过程叫泰勒展开。瞎子的体力是有限的，他只能测有限次，把这些测量值合起来和树本身有多少误差呢？就是泰勒级数（带余项误差）。幂级数就是我意淫有这么一棵树，他在1米处多粗，0.9米多粗，然后把它们拼起来，如果最后像一棵树（收敛），那么就得到了这棵数的泰勒展开。