有难度的极限题，很可能是2013的压轴题

leohazy · 发表于 2012-12-18 07:01

本帖最后由 leohazy 于 2012-12-18 07:02 编辑

分子减去lnn就是欧拉常数，0.5几。。当然，要取极限。

风_Careless · 发表于 2012-12-18 08:44

看看对不对
f（X）=1/X 在[1，+∞]上连续有界，根据积分定义，将X其分为N等分，每一份长度ΔXi=1，取分点函数值f（Xi）=1/Xi
分子=1+1/2+1/3+1/4……+1/n=∑f（Xi）i=（1，2...n）=∫（1~n区间）1/Xdx
然后洛必达法则
结果是1？
求指教。。。

风化了 · 发表于 2012-12-18 09:12

标题党，不过讨论过程还是有意思的

123UP · 发表于 2012-12-18 09:58

本帖最后由 123UP 于 2012-12-18 10:25 编辑

答案是1。。
可以逐个累积积分，证明：
ln(n+1)<1+1/2+1/3+...+1/n<ln(n)+1
然后同除以ln(n+1), 两边取极限即可。
大题肯定不会直接出这一问的，会先弄个小题做下铺垫，难度立马就会下来！

Attractor_Field · 发表于 2012-12-18 11:01

2011证明题稍微改一下就行了

yadnuslla · 发表于 2012-12-18 12:00

这个题目2011年数学一答题考过了
第一问证明1/(n+1)<ln(n+1)<1/n
第二问证明数列 an =1+1/2+1/3....+1/n-lnn 有界

大秦帝国435 · 发表于 2012-12-18 12:14

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寒伊洛@淳熙 · 发表于 2012-12-18 12:35

我的想法，当区间为[1,n]，当n趋近于+∞时，1就是n的无穷小了，那么是否可以认为1+1/2+1/3+...+1/n=∫(1*)dx呢，积分下限是1，上限是n，这能算是一个区间无穷的反常积分么。

海盗神 · 发表于 2012-12-18 12:45

用定积分的定义，充其量是个填空题

莱密尔顿 · 发表于 2012-12-18 13:28

令1+1/2+...+1/n=t 则原式=lim（n->）t/ln(n+1)
lim(n->)ln(n+1)/t=lim(n->)(n/t)ln(n+1)^(1/n)只需求出lim(n->)n/t
n/t<=(1+2+...+n)/n=(n+1)/2（n->无穷，它也无穷）
又n/t=(1+1+1+1..+1)/(1+1/2+..+1/n)>=(1+1/2+2/3+..+(n+1)/n)/1(n->无穷，他也无穷）（上下同时减去1/2+1/3+..+1/n)
由夹逼定理，n/t->无穷
即lim（n->）lim（n+1)/t=无穷，则原式=0

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有难度的极限题，很可能是2013的压轴题

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