本帖最后由 战地黄花 于 2012-6-25 10:01 编辑
一元微积分学的基本内容,是“用导数研究函数,研究函数以讨论积分。”讨论连续函数的符号,是基本内容的一条主线。 1。符号讨论主线 定理(1) “保号”定理 —— 若自变量x→∞ 时,相应的函数值f(x)有正的极限A ,即∣x∣增大时函数值f(x)无限接近正数A ,则当∣x∣充分大时 ,恒有f(x) > 0 ——若自变量x→x0 时,相应的函数值f(x) 有正的极限A ,则当x充分靠近x0时,即在x0 的一个适当小的去心邻域内,恒有f(x) > 0 ( 潜台词:近朱者赤,近墨者黑。如此而已。)
典型应用1 —— 连续函数一点大于0 ,则一段大于0 逻辑发展典型 —— f(x) 在区间(a ,b)上连续非负。则f(x) 在(a ,b)上积分为0的充要条件为f(x) 在(a ,b)上恒为0 (潜台词:如果需要,可以补充定义端点值为极限值。) 典型应用2 —— 一点可导且导数大于(或小于)0的推理 设函数 f (x) 在点x0 可导,且 f′(x0) > 0 ,则 → f (x) 在点x0 可导 → f (x) 在点x0连续 → f (x) 在点x0的某邻域内有定义
将 f′(x0) > 0 还原成定义式 , 即 Δx → 0时,l i m(Δy /Δx)> 0 →(体验符号,近朱者赤。)在x 0的某去心邻域内,增量商恒正 ,分子分母同号。 → 分母Δx在x 0左側为负,右侧为正,分子Δy也只能左側为负,右侧为正。 → 在x 0左側邻近,恒有f (x) < f(x 0),而在右侧邻近,恒有 f (x)> f(x 0) (潜台词:我们并不知道各函数值之间谁大谁小。不能与单调性相混。) → f(x 0)不是函数的极值,更不会是函数的最值。 (画外音:这下你就懂了,“已知一点导数大于0”与“已知一个区间内导数大于0”的差别。 有人问,你能举出一个点孤立可导的函数例吗?那是另外一个问题了。有点钻牛角尖。) 2。符号讨论主线 定理(2)连续函数介值定理推论 —— 连续函数取正取负必取零。 (潜台词:讨论方程 F(x) = 0 的根,总可以转化为讨论函数F(x)的零点。) 逻辑发展 —— —— 没有零点的连续函数定号。只有一个零点的连续函数定号或分两段定号。 (潜台词:简单的反证法逻辑。) —— 连续函数在相邻的两个零点间不变号。 —— 在连续区间(a ,b)内,函数图形被其零点分成了恒正或恒负的若干段。 (潜台词:各段究竟恒正还是恒负,选个特殊点算算。) 逻辑发展典型 —— 若函数 f(x) ,g(x ) 都在区间(a ,b)上连续,则函数 y = man(f(x),g(x ))也在(a ,b)上连续。 (画外音:作差函数 F = f(x)– g(x ) ,则F连续。F在相邻的两个零点间不变号。 函数y = man(f(x),g(x ))在这一段要么为f(x),要么为g(x),当然连续。 只需任选一个等值点(F的零点),证明y = man(f(x),g(x ))连续。) 逻辑发展典型 ——(费尔玛引理) 若f(x) 在区间(a ,b)上可导,且在(a ,b)内一点x0取得最大值或最小值。则必有 f′(x0) = 0 (画外音: f(x) 在点x0可导的充要条件为 左导数 = 右导数 。 写出定义,利用最值讨论左导数 = 右导数符号。逻辑推理判 定 f′(x0) = 0 ) 逻辑综合发展典型 ——(达布定理)若f(x) 在区间(a ,b)上可导,则其导函数自然满足连续函数介值定理。 (潜台词:导函数不一定连续。) 3。典型(连续)不可导的成因分析 从图形上看连续函数取绝对值 —— 连续函数f (x) 在相邻的两个零点之间不变号。 如果恒正,每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间,函数 y =∣f (x)∣与 f (x) 的图形相同。 如果恒负,每一个负数的绝对值都是它的相反数。在这两个零点间,f (x) 的图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。成为 y =∣f (x)∣的图形。 如果 f (x) 可导,则称曲线 y = f (x) 光滑。从前述图形关系可以看出,在f(x) 恒为正或恒为负的区间内,曲线y = | f (x) | 和曲线y = f(x) 的光滑性是一致的。 符号讨论主线结论(3)——只有在f(x) 的零点处,才可能出现曲线y = f(x) 光滑,而曲线y = | f(x) | 不光滑的状况。 y = sin x 在原点为0,在原点的左侧邻近为负,右侧邻近为正。 让它的图形在原点右侧段不变,而将左侧段对称地反射到上半平面,就是y = | sin x | 的图形。反射使得曲线 y = | sin x | 图形在原点处形成一个尖角,不光滑了。 (潜台词:从几何上看,曲线y = sin x的切线被分成左,右两射线,形成一个角。) 同理 y = | lnx| 在点x = 1不可导。 这是否是一个普遍规律?不是!必须是单零点才行。比如y = x3 与 y = | x3 | 在x = 0 点都可导。 函数 y = x3 的图形叫“立方抛物线”。在点x = 0,函数导数为0,图形有水平的切线横穿而过。
4。符号讨论主线结论(4)拉格郎日公式推论2 ——若f(x) 在区间(a ,b)上可导,且导函数f′(x) > 0 ,则f(x) 在区间(a ,b)上单增。 逻辑发展(“逐阶判符号,分段说单调”)—— 一个很好玩的游戏 设函数 三阶可导,f′″(x) 在点 x0 连续。又已知其一,二阶导数在点 x0 都为0 ,而三阶导数不为0 ,不仿设 f′″(x0)>0 ,则有 → 连续函数一点大于0则一段大于0 。在点x0 邻近三阶导数 f′″(x) 恒大于零。 → 三阶导数大于零,则二阶导数单增。又因为 f″(x0) = 0 ,故 当x由左方趋近点x 0 时,f″(x) 由负单增到0 ; 而从x 0点向右,f″(x)由0单增为正。 x 0 两側二阶导数反号,图形上点(x0,f (x 0))是拐点。 → 在x 0点左側,一阶导数单减,且由正单减到0 ; 在x 0点右側,一阶导数单增,且由0单增为正。f′(x 0) = 0是一阶导数的极小值。导数的一个孤立零点。 → 函数 f 在点x 0邻近单增 典型应用——“单调法”证明函数不等式 证明x >x 0 时,f (x) >g (x),即证明 F = f (x)-g (x) >0 ,能否运用单调法,先看有没有“初始信息”,再对F求导。看导数正负说单调,两者结合确定函数F的符号。
这条主线玩熟了,你会提高很多。 |