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有意思(26)一元微分重条件,符号分析是主线

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发表于 2012-6-25 09:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 战地黄花 于 2012-6-25 10:01 编辑

          一元微积分学的基本内容,是“用导数研究函数,研究函数以讨论积分。”讨论连续函数的符号,是基本内容的一条主线。
         1。符号讨论主线 定理(1 保号”定理
         —— 若自变量x→∞ ,相应的函数值f(x)有正的极限A ,即x增大时函数值f(x)无限接近正数A ,则当x充分大时 ,恒有f(x) > 0
         ——若自变量xx0 ,相应的函数值f(x) 有正的极限A 则当x充分靠近x0时,即在x0 的一个适当小的去心邻域内,恒有f(x) > 0
       (     潜台词:近朱者赤,近墨者黑。如此而已。)

         典型应用1 —— 连续函数一点大于0 ,则一段大于0
         逻辑发展典型  ——  f(x) 区间a b上连续非负。则f(x) 在(a b上积分为0的充要条件为f(x) 在(a b)上恒为0
       (潜台词:如果需要,可以补充定义端点值为极限值。)
         典型应用2 —— 一点可导且导数大于(或小于)0的推理
         设函数 f (x) 在点x0 可导,且 f(x0)  > 0 ,则
          →  f (x) 在点x0 可导 f (x) 在点x0连续   f (x) 在点x0的某邻域内有定义

         将   f(x0) > 0   还原成定义式   Δx 0时,l i m(Δy /Δx)> 0
         →(体验符号,近朱者赤。)在x 0的某去心邻域内,增量商恒正 ,分子分母同号。
                  → 分母Δxx 0左側为负,右侧为正,分子Δy也只能左側为负,右侧为正。
                           → x 0左側邻近,恒有f (x) < fx 0),而在右侧邻近,恒有    f (x)> fx 0)
       (潜台词:我们并不知道各函数值之间谁大谁小。不能与单调性相混。)
                                     → fx 0)不是函数的极值,更不会是函数的最值。
         (画外音:这下你就懂了,“已知一点导数大于0”与“已知一个区间内导数大于0”的差别。
           有人问,你能举出一个点孤立可导的函数例吗?那是另外一个问题了。有点钻牛角尖。)
           2。符号讨论主线 定理(2)连续函数介值定理推论
           —— 连续函数取正取负必取零
          (潜台词:讨论方程 F(x) = 0 的根,总可以转化为讨论函数F(x)的零点。)
          逻辑发展 ——
           —— 没有零点的连续函数定号。只有一个零点的连续函数定号或分两段定号。
         (潜台词:简单的反证法逻辑。)
                     —— 连续函数在相邻的两个零点间不变号。
                              —— 在连续区间a b内,函数图形被其零点分成了恒正或恒负的若干段。
          (潜台词:各段究竟恒正还是恒负,选个特殊点算算。)
            逻辑发展典型 ——
            若函数 f(x) g(x ) 都在区间a b上连续,则函数  y = manfx),g(x ))也在(a b上连续。
           (画外音:作差函数 F = fx– g(x ) ,则F连续。F在相邻的两个零点间不变号。
                函数y = manfx),g(x ))在这一段要么为fx),要么为gx),当然连续。
                  只需任选一个等值点(F的零点),证明y = manfx),g(x ))连续。)
            逻辑发展典型 ——(费尔玛引理)
            若f(x) 在区间(a b)上可导,且在(a b)内一x0取得最大值或最小值。则必有  f(x0)  =  0
          (画外音: f(x) x0可导的充要条件为 左导数 = 右导数
            写出定义,利用最值讨论左导数 = 右导数符号。逻辑推理判 f(x0)  =  0
            逻辑综合发展典型 ——(达布定理)若f(x) 区间a b上可导,则其导函数自然满足连续函数介值定理。
         (潜台词:导函数不一定连续。)
           3。典型(连续)不可导的成因分析
           从图形上看连续函数取绝对值 ——   
           连续函数f (x) 在相邻的两个零点之间不变号。
           如果恒正,每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间,函数 y =f (x)∣与 f (x) 的图形相同。
           如果恒负,每一个负数的绝对值都是它的相反数。在这两个零点间,f (x) 的图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。成为 y =f (x)∣的图形。
           如果    f (x) 可导,则称曲线 y = f (x) 光滑。从前述图形关系可以看出,f(x)  恒为正或恒为负的区间内,曲线y = | f (x) | 和曲线y = f(x) 光滑性是一致的。
           符号讨论主线结论(3——只有在f(x) 的零点处,才可能出现曲线y = f(x) 光滑,而曲线y = | f(x) | 不光滑的状况。
             y = sin x 在原点为0,在原点的左侧邻近为负,右侧邻近为正。
           让它的图形在原点右侧段不变,而将左侧段对称地反射到上半平面,就是y = | sin x | 的图形。反射使得曲线 y = | sin x | 图形在原点处形成一个尖角,不光滑了。
          (潜台词:从几何上看,曲线y = sin x的切线被分成左,右两射线,形成一个角。)
          同理  y = | lnx| 在点x = 1不可导。
          这是否是一个普遍规律?不是!必须是单零点才行。比如y = x3    y = | x3 | x = 0 点都可导。
          函数 y = x3 的图形叫“立方抛物线”。在点x = 0,函数导数为0,图形有水平的切线横穿而过。

          4。符号讨论主线结论(4)拉格郎日公式推论2
           ——f(x) 在区间(a b)上可导且导函数f(x) > 0 ,则f(x) 在区间(a b)上单增。
          逻辑发展(“逐阶判符号,分段说单调”)—— 一个很好玩的游戏
           设函数 三阶可导,f′″(x)  在点  x0 连续。又已知其一,二阶导数在点 x0 都为0 ,而三阶导数不为0 ,不仿设 f′″(x0)>0 ,则有
           → 连续函数一点大于0则一段大于0 。在点x0 邻近三阶导数 f′″(x) 恒大于零。
                    → 三阶导数大于零,则二阶导数单增。又因为 f(x0) = 0 ,故
                             当x由左方趋近点x 0 时,f(x) 由负单增到0  ;
                                   而从x 0点向右,f(x)0单增为正。 x 0 二阶导数反号,图形上点(x0f (x 0))是拐点。
                                  → 在x 0点左側,一阶导数单减,且由正单减到0
                         在x 0点右側,一阶导数单增,且由0单增为正。f(x 0) = 0一阶导数的极小值。导数的一个孤立零点。
                                           → 函数 f 在点x 0邻近单增
                典型应用——“单调法”证明函数不等式
                证明x >x 0 时,f (x) >g (x),即证明 F = f (x)-g (x) >0 ,能否运用单调法,先看有没有“初始信息”,再对F求导。看导数正负说单调,两者结合确定函数F的符号。

               这条主线玩熟了,你会提高很多。

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发表于 2012-6-25 11:41 | 显示全部楼层
又见到老师您了啊   哈哈
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发表于 2012-7-18 23:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 侧身 于 2012-7-18 23:53 编辑

这是否是一个普遍规律?不是!必须是单零点才行。 求老师告知什么是单零点,,  我后来想了想是f(x0)=0 而f’(xo)不等于0.。
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发表于 2012-7-19 17:40 | 显示全部楼层
老师你好,我想问下就是在第三点讲到 ——只有在f(x) 的零点处,才可能出现曲线y = f(x) 光滑,而曲线y = | f(x) | 不光滑的状况。的时候 你最后总结说 必须是单零点的问题。但是冒昧的说下 这样是不是 不是很清楚呢?说的。我可不可以这样理解呢?若f(x) 在点a处可导,且f(a)=0 f(a)的导数不等于0 则 y = | f(x) | 在x=a处不光滑 呢?
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发表于 2012-7-19 17:42 来自手机 | 显示全部楼层
呀,好总结啊
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 楼主| 发表于 2012-7-19 21:48 | 显示全部楼层
侧身 发表于 2012-7-18 23:12
这是否是一个普遍规律?不是!必须是单零点才行。 求老师告知什么是单零点,,  我后来想了想是f(x0)=0 而 ...

对的。这又叫“单根”。
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 楼主| 发表于 2012-7-19 21:53 | 显示全部楼层
honeyaries 发表于 2012-7-19 17:40
老师你好,我想问下就是在第三点讲到 ——只有在f(x) 的零点处,才可能出现曲线y = f(x) 光滑,而曲线y = | ...

对。f(x0)=0 而 f’(xo)不等于0,这是单0点的一个充分条件。
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战地黄花 发表于 2012-7-19 21:53
对。f(x0)=0 而 f’(xo)不等于0,这是单0点的一个充分条件。

en  谢谢老师了哈。
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发表于 2012-7-23 13:07 | 显示全部楼层
老师辛苦了!{:soso_e163:}
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