简评2011年考研数学真题

雷西儿

中午时分看到了数三真题，总体感觉是，简单，几乎其中每一道题都可以在《复习全书》甚至课本上找到其直接对应的知识点或典型题，基本上没有出现让考生陌生的题型。

下午三点多终于等到了数一真题，刚做完，总体感觉是，数一和数三的题目难度相差很大，其中有20%左右的难题，另外纵向比较，和10、09、08的真题相比，今年的数学（至少数一）真题，高数难度回归，压阵和拉开差距的几道看上去让人抓狂的题目，都是在高数部分，线代和概率难度下降，这一点实际上我在考前给学生最后总结时预测过：）毕竟08年线代难，10年概率难，今年，轮也该轮到高数了。

下面先逐个评价数一题目，时间有限，此贴不断更新中。另外说下，目前为止我题目都只做了一遍，难免可能会有些错误的，大家有发现的希望指教，多谢！

选择题：
1、难题。求一个高次多项式的拐点，这道题目我一看到就感觉比较棘手，直接求二阶导验算显然计算量超级大，非明智之举，从答案选项分析可知这曲线就一个拐点，且曲线的四个零点正好是（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0），那么根据这个特点，我的思路是：判断（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）四个横坐标点附近，函数f的值是正的还是负的，我们知道，一般来说如果一个点左右附近函数值是同号的，那么它不会是拐点（比如x^2在x=0处），所以这样可以把（2，0）和（4，0）排除掉，剩下的（1，0）和（3，0），根据次数，我猜测答案是（3，0）。需要说明的是我假设自己是在考场上那种紧张和争取时间的状态下来面对这道题的，所以，我宁愿迅速的猜一下答案（当然是有一定依据的猜，且先排除了两个明显不对的），然后立马转入下一道题，而不在这道难题上纠缠太多的时间，如果做完了还有余暇的话，再回过头来仔细验算一下，从战略上讲这是允许的。

2、中等题。级数敛散性相关判断，首先幂级数的收敛区间肯定是关于中心点对称的，所以迅速排除A、B，然后就看左右两边端点哪个开哪个闭，剩下的就是逐项考虑已知条件了，当x=2时，级数前n项和无界，必不收敛，当x=0时，级数是交错的，且通项满足莱布尼兹准则，收敛，答案选C。

3、中等题。二元函数极值的充分条件，不过实际上计算过程中求三个偏导数A、B、C主要还是涉及一元求导，因为两个变量是分离的，降低了一些难度，最后求出来的条件，要求极小值，需A>0，AC-B^2>0，可判断出答案为A。

4、中等题。比较积分关系，且三个被积函数都不简单，要求对sinx、cosx、cotx的在0到pi/4区间的图像有清楚的认识，首先cotx是大于1的，而sinx和cosx是小于1，故加上对数后lncotx>0，而lnsinx<0，lncosx<0，那么就可以判断J最大了，但I、K谁大谁小？一个是从图像判断，cosx>sinx，另外一个是两者减一减，K-I实际上就是J，大于0的，所以最终顺序：J>K>I。

5、简单题。直接考察初等函数的定义及相关知识点，注意左乘是行，右乘是列，故根据已知条件，有P2*A*P1=E，反解出A即可，又注意到P2的逆和P2是相同的，答案选D

6、中等题。矩阵的秩和方程组问题，且涉及的知识点较多，故我归为中等题而非简单题。首先注意Ax=0的基础解系解向量个数为1，故r(A)=3，再根据矩阵和其伴随阵的秩的关系，定出r(A*)=1，故A*x=0的基础解系解向量的个数为3，可排除A、B了。接下来看C、D，应该是哪个？我们知道构成基础解系的解向量必须线性无关，故从这一点着手，根据（1,0,1,0）是Ax=0的解可得a1+a3=0，故a1和a3线性相关，选答案中a1、a3不同时出现的即可，D。

7、简单题。此题基本属于送分，条件中说了F1、F2都是分布函数，那迅速联想到max的分布函数是F1*F2，其概率密度的形式，直截了当的呈现于D选项中，想不选对都难。不要说max的分布函数你想不到，这应该是概率学习里最基本的内容之一，且此题的变体任何一本复习资料上都应该见过。

8、难题。按正常程序做的话，计算量也是惊人，故寻求巧解。注意要我们求的是UV的数学期望，按定义的话，最好是要知道W=UV的概率密度或分布函数，接下来可尝试对W=UV的分布函数进行分析（因为这相当于事件的概率分析），想要求P(W<w)的话，相当于求P(UV<w)，因为U是max（X, Y），V是min（X, Y），看上去这两者相乘很烦，但再进一步想一下，如果分类讨论一下，把问题分成当X>Y时和X<Y时考虑，UV分别等于什么呢？当X>Y时，是X（X和Y中大的那个）Y（X和Y中小的那个），当X<Y时，是Y（X和Y中大的那个）X（X和Y中小的那个），一下就清楚了，无论你怎么搞，UV其结果就是个XY，UV这个随机变量等同于XY这个随机变量，那么当然其数字特征也相等，结果答案为E(XY)=E(X)E(Y)。

填空题：
9、中等题。计算弧长积分，本来这类题目计算比较复杂，涉及到求f'(x)的平方，但此题的f ' 形式相对简单，注意是求曲线y在x从0到pi/4之间的弧长，所以先求y'，因为是个积分上限函数，求导就直接往里面代，得tanx，题目转化为求sqrt(1+tanx^2)的积分，迅速变形为sqrt(secx^2)=abs(secx)，这个积分有一定难度，记得公式的可直接写出，但一般都不记得，要编程1/cosx，上下同乘一个cosx，再用凑微分，答案有ln。

10、中等题。一阶线性微分方程，因为是非齐次方程，故归入中等题而非简单题。首先求齐次解，很简单的一个方程，y'+y=0，可得y=Ce^(-x)，再用常数变易法，令C=C(x)，代入原方程中，可解得C(x)=sinx+D，最后利用初始条件定出D=0。

11、简单题。求二元函数的二阶偏导。第一次求导还是涉及变限积分，说实话不知道怎么两道填空题都考了同一个知识点，有点重了，而且后面大题又有二元函数偏导……第二次求导就是个商的导数，计算稍嫌复杂，但认真做应该不会出错，最后代入x=0, y=2，注意cos0的值是1而不是0，答案4。

12、难题。第二类曲线积分，且积分区域是一个斜平面交一个柱面所得的椭圆，从题目条件告诉曲线的方向来看，要用斯托克斯定理，还好三个被积函数P、Q、R比较简单，代入斯托克斯公式，得ydydz+xdzdx+1dxdy，到这里以后有多种考虑，我的做法是，由于使用斯托克斯定理后积分区域变为曲线所围的一个平面椭圆区域，其法向量固定，为（1, 1, -1），故可转化为第一类曲面积分，得[x+y-1]/sqrt(3)dS在椭圆区域上积分，第二部分直接算面积，第一部分投影到xy平面，再由积分区间对称性，知第一部分为0，最终答案是pi。

13、简单题。二次型相关，但实际考察知识点相当简单，一个对称阵通过正交变换化为标准型，让求参数a，直接利用行列式相等即可，答案是1。

14、中等题。二维正态分布，这个知识点应该说属于边缘内容，即每年都会考一些，但肯定都只考小题的那么一部分，和它同类的还有比如切比雪夫不等式、大数定理、中心极限定理、假设检验、欧拉方程……等等等等。这里的关键是要注意到最后一个参数p=0，有了这个，即意味着这个二维正态分布的边缘分布是一维正态，且相互独立，这是个相当强的条件！然后就可以按顺序做下来了，X和Y独立，那X和Y^2也独立，其E等于二者的E相乘，分别计算，E(X)就是第一个参数，E(Y^2) 用下方差和E(Y)^2的关系就好了，也是常考点之一啊，这道题的几个参数在这里不好写，大家自己算一下就ok。

解答题：
15、简单题。求极限的典型题目之一，1的无穷次方，用取对数或利用e形式的重要极限都可解决，考前必练熟的题型之一。我习惯的做法是括号里面加个1减个1，然后1加上的那部分弄个倒数乘到外面来，就变成一个e的多少多少次方类型的极限，答案我算得是e^（-1/2）。

16、简单题。求二元函数的二阶偏导，也是典型的题目类型，无非是求二次偏导的时候，要注意链式法则不要丢了（即第一步求出来的一阶偏导，也还是个二元函数），计算量中等，但需仔细，避免无谓错误。我算的答案是，f'1+f''11+f''12。

17、中等题。判断karctanx-x=0的实根数目，显然此题答案应与k的取值有关。如果对函数图形熟悉的，可画图辅助思路，即使不熟悉也关系不大，还是用导数的常用方法。设f(x)为要讨论的函数，求导，驻点即为k/(1+x^2)-1=0的点，可以看出要让k=1+x^2，当k<1时是不可能的，因为x^2恒大于等于0，故k<1时f'保持同号，即保持单调性，那么至多有一个零点，而不难发现x=0总是该题设函数的零点，故k<1时有一个零点；当k>1时，可能的驻点有两个，即让k=1+x^2成立的合适的x（根据对称性也可判断是两个），然后进一步可判断出，在这种情况下，f(x)的单调性会发生两次变化，一共有三个零点。

18、难题。涉及不等式和夹逼法则的证明题，延续了去年的风格，很意外，本来还以为会恢复中值定理的老题型呢。第一问不难，尤其右边的不等式，直接用ln(1+x)<x的结论即可，左边的不等式稍复杂点，我的做法还是用相对应的不等式，即把1/(n+1）看成某个在（0,1）间的x，然后代入不等式，变形后设成一个f(x)来讨论他的正负性，我化过来是证明x<ln1/(1-x)，大家帮忙看下有没有问题。第二问个人感觉比较有难度，证明数列收敛性，那只有两个办法，要么夹逼原则，要么单调有界，我先考虑了下夹逼原理，如果把an里的每个1/n都用ln(1+1/n)代换的话，可以得到一系列ln的和，但这个式子还是看不出什么突破点；于是考虑单调有界，由于an是连加的形式，先尝试计算a(n+1)-an，立即有所发现，其结果就是经过两步变形就是赤裸裸的1/(n+1)-ln(1+1/n)，套用第一问结论（不等式左边），此式子<0，故an递减。单调性证明后就是有界性了，因为是要证有下界，必然是把1/n换成更下的来考虑，这时就可以用我前面说的，把每个1/n都用ln(1+1/n)代换了（第一问不等式右边），得an>ln（1+1/1）（1+1/2）（1+1/3）……（1+1/n）/n=ln[2/1*3/2*4/3……*（n+1)/n]/n=ln(n+1)/n>0，得证。

19、难题。一个抽象函数的二重积分问题，个人认为可以竞逐今年度的最难考题，被积函数中的f''xy让我想到可能要对二重积分用分部积分来做，因为这样可以两次把偏导数拿进去，分部出来的结果就相当于回到原来的f，再结合给你的条件，就可以把最后结果得出来。这道题目我暂时的解答过程也比较乱，还需要仔细斟酌一下，目前算出来答案就是a，本来是a加另外一部分，但发现另一部分是0，故结果是a。对这么一道重量级的题目，我给予特别待遇，上图。


20、中等偏简单题。向量组的知识点相关，给了两个都是三个向量构成的向量组，其中一个完全已知，另一个有未知参数a，但说a不能被b表示是个很强的暗示，因为经过行变换可发现a是满秩的向量组，又大家都是三维的，所以如果b也是满秩的，那把a里面任意一个拿进来，和b放在一起，4个三维向量必线性相关的，即a里面任意一个都可以被b表示，从而a全部可被b表示，这样就推出矛盾了，从而只有一种可能——b不满秩，迅速算出a=5。第二问可这样，既然让你把b用a表示，说明b可以被a表示，不放设b=Aa，那么要求的A就是矩阵b乘个a的逆了，算出来后，搞定。

21、中等题。特征值特征向量相关。有没有发现，今年的线代题目呈现出了典型特点，即和往年很多次的出题套路相同，那就好办了，首先根据已知条件，要看出-1和1就是A的两个特征值，这个还是需要一定眼力的（这也是此题不能被归为简单的送分题的原因之一），其次说了A的秩是2，即还有个特征值是0，好，那三个特征值就出来了。剩下的两个特征值，-1的和1的，就都是条件给的那两个列向量，还剩一个0的特征向量，怎么找？这里可能会卡一部分同学，别忘了，实对称矩阵！又是不同的特征值，对应的特征向量有个隐含条件，相互正交（此题不能被归为简单的送分题的原因之二），想到这个，第三个特征向量迎刃而解。第一问解决后，第二问只是a piece of cake。

22、中等题偏简单题。概率典型题，求分布，求数字特征。这道题的思路应该说来算简单，但三个问，计算量不小，故还是归为中等题。首先是根据已知的X和Y的分布，要求(X, Y)的联合分布，且是离散型的，故是求分布律的一个表。为方便分析，可先把表画出，填满各个空即答案。注意一个补充条件，说X^2=Y^2的概率是1，把这个事件具体分析，有三种可能：（X=0, Y=0）、（X=1, Y=1）、（X=1, Y=-1），设其概率分别为a、b、c，那么有a+b+c=1，好，三个未知数，有一个方程了，还要再找两个，别忘了其它没用到的条件，把表上另外的几个空，都可以用已知的边缘概率（比如X的1/3，2/3）和a、b、c组合出来，然后再考虑另外一个边缘概率（比如Y的1/3、1/3、1/3），这样即可得到另外两个用a、b、c表示的方程，解三个未知数，第一问解决。有了第一问的结果，做第二问无非就是分析一个具体问题，辨别清楚即可。相应的第三问也没难度了，按相关系数定义求出。

23、中等题。概率最后一题也回到了往年的典型路子上，求最大似然估计，不过稍微有点变化，一般我们练习中都是求均值的，这里是要求方差的。还是写出最大似然函数，求导数，令其等于零即可。第二问求数字特征，E不难计算，求D的时候还是要用到一定技巧，要用到卡方分布（即第六章里有S^2在里面那个统计量，服从自由度n-1的卡方分布），这一个考点若放在以前的话算难的，但09年时最后一道题考到过了，认真做了真题的人应该没有多大障碍。

jaygft

就这些吗~雷西儿~期待你的完整版~谢谢啦

wangsi001

不知道2012会怎样啊~~~~~~估计数一 一年比一年难了 都不知道怎么办了~~~

forerwincat

期待后续

粘钩123

最后两个大题难吗？？？怎么我考研的同学不太好呢

forerwincat

6错了 唉，还是复习不到位

念小思

期待数三真题的……
今年数三难度确实不大……

nbxxxxx

我补下吧，选择最后一道直接安装数学期望公式，然后分成X大于等于Y，和X小于Y,最后在更据二重积分性质，加起来就得是B了，不算难题

spondor

楼主最后一道选择你可能想得复杂了。x、y最大值与最小值相乘就是xy嘛

lance147

楼主高手。顶。第一题没想到什么好办法，第一感是两边求对数，不通，第二感泰勒，不同，第三感中值定理，这时候开始急了，然后跟楼主分析的差不多。。概率俩选择给我吓住了，不过第一题积分为1很快确定，第二题跟楼上一样，发现出题人在玩文字游戏，恍然大悟。。选择应该没错，不过大题彻底悲具