考研数学总结（原创）

晨雾9495

说明;    本人是09年参加全国硕士研究生招生考试的一名大四学生，以下只是个人看法。
      
     数学首先你要练基本功，没有基本功一切都扯淡，把基本概念搞明白了理解透彻了。自然做起题来得心应手，虽然有很多一时无法解出，但你应该知道用一般的方法即使麻烦点也能做出来。下面简单说下考研数学。
      微积分部分：极限是微积分的基础，就是整个微积分的根基，连续实质上是个极限问题，求导也是个极限问题等等。极限的存在与否以及求极限的十二种方法尽量掌握。因为每一个题目都不尽相同，掌握不同的方法后可以选择比较简单的，当然你可以用泰勒展开式一招搞定极限。函数的连续和求导都可以归结到极限问题上。积分学就是微分学的逆运算，注意不定积分那个常数，很多人会遗失。个人觉得这就是共性个性的差别，积分是一个原函数就是一类函数，当这个常数确定后就是一个特殊的确定的函数了。积分是升性运算，微分是降性运算，一个函数只要连续 了，它的原函数就是可导的；而一个函数连续它的导函数不一定存在。当然对于一元函数来说可导一定能得到连续，而连续不一定能得到可导（问下你自己为什么可导一定连续？很多人不知道为什么）。连续函数在闭区间又有很多性质，零点存在定理，最大值最小值定理，中间值定理等 还有微分中值定理。这些其实都很好理解但要学会怎么用书面数学语言表达，比如零点存在定理就是说连续函数在那个取异号点之间必然存在一点可以取到零点，你是否觉得这就是说你如果想到另一个地方而只有一条路可以达到那么你就必须走这条道呢？其实是一个道理。常微分方程那几个模式要记住，因为微分方程本来就没有特定的理论，人们只是根据那几类可以解的归结出来些方法，所以不可能跑出那些类型。在证明函数中值定理时也可以使用微分方程，比如09年数三的Lagrange证明，解出那个方程就是要构造的辅助函数。差分方程就是一个迭代，不会考深掌握了那个点就够了。数项级数其实东西挺多，但考研数学涉及的点不多，只要掌握大纲要求的就够了，其实级数理论也是一个极限问题。因为给定一个函数它的性质不容易掌握而一个多项式的性质总是比较傲简单，所以就用泰勒公式展开成多项式来研究其性质，而这时要注意余项，Lagrange余项和泰勒余项的不同。但是展开后还有很多问题，比如说连续否，可微吗 可导吗？研究数学有三个点：一是存在性，二是唯一性，三是运算顺序可交换性。数项级数一个知识点就是级数求和，我想很多人不明白为什么可以交换积分符号和求和符号，如果一个级数一致收敛时就可以交换运算符号。一致收敛比收敛的要求更高，收敛只要求点态收敛，对于不同的N那个无穷小是不同的，而一致收敛是对于每一个N，无穷小都一样，也就是说这个无穷小和大N没有关系。一致收敛当然收敛但熟练不会保证一致收敛，这就是要求的强弱，就像绝对收敛和收敛一样。当级数一致收敛时就存在运算顺序的交换性，这样我们就可以把一个级数求和，这其实就是函数展开的逆运算。但是泰勒展开有很多缺陷，然后又出现了傅里叶级数，其周期性等性质比泰勒级数要好很多。反常积分就是积分加了个极限，没有新东西。二元函数和一元函数有本质的不同，就像一个人的比赛和团体赛事一样，一个人的比赛只要自己发挥好了就问题不大，而团体赛事有一人出差错一切完蛋。二元函数受两个变量约束，在极限问题上要求很高，当沿不同路径时，极限可能不存在或者存在也不相等。这就导致了二元函数时，可微和可导以及连续的关系，可微时可以得到可导以及连续，当可导或者连续做条件时不能得到任何结论（问问你自己为什么？）这里存在一个问题，就是为什么二元函数的可微和可导不再等价，二元函数时，存在对于每一个变量的偏导数，这称之为可导；可微是说函数值与（X1,Y1)和（X2,Y2)之间的距离有关系，其实也是一个判断极限的问题。打个比方吧，二元函数就像一个男人有两个妻子，每一个伺候不好都会出问题，就像辜鸿铭老先生说的茶壶茶杯理论（其实没啥关系）；而一元函数比较专一，就受一个妞的影响，自然好忽悠。多元函数求导也是一个难点，关键是记得复合函数求导后的导数还是自变量的复合函数就够了，每一个自变量都通过不同的路径影响到函数值，求导时就要注意把所有的路径都包括进来，不然就会出错。二重积分没什么难点，基础是积分理论，新的东西就是一个积分顺序的划分。其实历年真题二重积分部分就几个知识点，1 分割区间然后对称区间消掉 2 坐标变换 3 求出结果  。

      线性代数部分：考研数学线性代数六章，行列式 矩阵  向量  方程组  特征值特征向量  二次型。行列式掌握常见的几种就过了，不过要会求参数型行列式，最重要的就是求特征值时那个行列式，因为求特征值时要分解因式，如果按一般方法得到一个三次多项式无法分解因式那么就无法求得特征值就无法完成这道大题。矩阵不多说，基本理论掌握扎实。向量和方程组其实是一块东西，线性相关线性无关线性表出等概念经常考察，其实挺好理解。线性无关就是说这组向量组里的每一个向量都有一个特定的性质是其他向量的组合所无法刻画的，线性相关就是说其中至少有一个向量可以用其他向量的组合表示。就像好看的妞各有各的好看，每一位漂亮的MM都有其特殊的漂亮，在我心中那是没法用一个代替另一个的。（稍微扯远点，其实大多人也不是花心，他喜欢你的时候是真的喜欢你，而他也有不喜欢你的时候，如果他说一直喜欢你那是因为他用理性约束自己。）一个无关的向量组称为极大线性无关组，其实就是一个代表。方程组理论要掌握基础解系，这是基础因为后面判断一个矩阵是否可对角化时用到。重点说下特征值和特征向量以及二次型这块，考研数学把很多知识点都割裂出去了，特征值和特征向量是线性变换时定义的，给定一个线性变换为了找到一个最简单的矩阵表示，就是将要说的对角表示。首先就定义了特征值，然后找出其特征向量，如果一个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量就说明可对角化。二次型本质上是线性变换，你想想，二次型标准化和矩阵相似对角化的区别？二次型涉及到标准型以及标准型的唯一性还有规范型。还有要明白相似 合同 等价的关系，相似是在线性变换处定义的，一个线性变换在两个不同的基下对应的矩阵就是相似的，所以相似的矩阵有相同的秩，相同的特征多项式相同的特征值相同的迹但反过来不成立；合同实在二次型标准化那定义的，一个二次型可以标准化的充要条件就是矩阵和单位矩阵合同，可见合同并不改变矩阵的一些性质。还涉及到正交变换，正交变换在几何上是保持点与点之间距离不变的变换，正交矩阵行列式为1或-1，当为1时是旋转，为-1时是镜面反射。其实线性代数技巧性很强，这里关键是掌握核心概念，真正搞明白概念以及概念之间的关系，了解概念的出处以及用处有住于掌握这些东西。


       概率与数理统计部分：概率很抽象，有时很想当然的事情可完全是错的，概率部分自己感觉没什么心得，数理统计部分就考那么一点，比较简单，只要你明白X T F分布怎么来的，明白矩估计和最大似然估计怎么计算就差不多了。考研复习的时候也没有认真琢磨，只是把要求的常见的都搞明白，自己没有得到什么思想上的收获。不多说了

      总结:数学需要自己去感悟领会，虽然现在我们为了应付考试而急功近利，很多人只知道怎么算但不知道用来有什么用处以及这个知识点的出处，只知道做题算题看答案是否一致而忽略了数学思想中的精华，但是为了考试我们还不得不这样。只要你会做，只要你考场上能把试卷上的都做对你就牛叉。但数学中有很多美的东西，有时她会让你为之激动有时又会让你无奈，即使你无法把数学学好，你也可以认真体会数学中的精华，考研只是漫漫人生中的一步，不管结果怎么样，只要你努力了你为之奋斗过了，你就收获很多。考不上研不一定就说明你不行，即使你很有实力，想想考研那份试卷能考出多少东西，稍一不小心就完蛋。愿每一位数学没考好的同学不要厌恶数学，不要放弃对数学的学习，学无止尽学海无涯，不管你坐什么不管你已经是什么都要不断学习不断充实自我。

kgbwyg

沙发，我要求给楼主加分，太诚挚了，不过不精辟...呵呵，毕竟数学科目多，想精辟也精辟不了。

luanyong983220

ggfhfnfn

wljhp

晨雾9495

如果精辟那就是复习全书了

kevinsludge

可见楼主是数学高手~！[em:38]

wanghu2

值得一看！！

s_clear

理论水平真高

al_anling

感谢楼主~~

garbaged

建议搂主重新分下段，排下版吧。挺好的帖子，读到一半就找不到读的是哪行了。。。。