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巴比仑
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灿烂的古巴比仑文化
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发源于现在土耳其境内的底格里斯河（Tigris）和幼发拉底
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河 （Euphrates） ，向东南方流入波斯湾。河流经过现在的叙利
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亚和伊拉克。
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现在我们生活的「星期制度」是源于古代巴比仑。巴比仑
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人把一年分为十二个月，七天组成一个星期，一个星期的最后
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一天减少工作，用来举行宗教礼拜，称为安息日－这就是我们
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现在的礼拜日。
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我们现在一天二十四小时，一小时有六十分，一分有六十
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秒这种时间分法就是巴比仑人创立的。在数学上把圆分叁百六
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十度，一度有六十分这类六十进位制的角度衡量也是巴比仑人
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的贡献。
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古代巴比仑人的书写工具是很奇特的，他们利用到处可见
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的粘泥，製成一块块长方薄饼，这就是他们的纸。然后用一端
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磨尖的金属棒当笔写成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
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板书。
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希腊的旅行家曾记载巴比仑人为农业的需要而兴建的?#092;河
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，工程的宏大令人惊嘆。而城市建筑的豪美，商业贸易的频繁
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，有许多人从事法律、宗教、科学、艺术、建筑、教育及机械
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工程的研究，这是当时其他国家少有的。
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可是巴比仑盛极一时，以后就衰亡了，许多城市埋葬在黄
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土沙里，巴比仑成为传说神话般的国土，人们在地面上找不到
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这国家的痕迹，曾是闻名各地的「空中花园」埋在几十米的黄
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土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
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到了十九世纪四十年代，法国和英国考古学家发掘了古城
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及获得很多文物，世人才能重新目睹这个地面上失踪的古国，
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了解其文化兴盛的情况。特别是英国人拉雅（ Loyard）在尼尼
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微（Nineveh）挖掘到皇家图书馆，两间房藏有二万六千多件泥
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板书，包含历史、文学、外交、商业、科学、医药的记录。巴
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比仑人知道五百种药，懂得医治像耳痛及眼炎，而生物学家记
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载几百种植物的名字及其性质。化学家懂得一些矿物的性质，
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除了药用外，而且还利用提炼金属，製陶器及製玻璃的水平很
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高。
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有这样高文化水平的民族，他们的数学也该是不错吧？这
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里就谈谈他们这方面的贡献。
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巴比仑人的记数法
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巴比仑人用两种进位法:一种是十进位，另外一种是六十
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进位。
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十进位是我们现在普通日常生活中所用的方法，打算盘的
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「逢十进一」就是基于这种原理。
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巴比仑人没有算盘，但他们发明了这样的「计算工具」协
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助计算（图一）。在地上挖叁个长条小槽，或者特製有叁个小
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糟的泥块，用一些金属小球代表数字。
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比方说:巴比仑城南的农民交来了 429 袋的麦作为国王的
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税金，而城东的农民交来了 253 袋的麦。因此国王的仓库增加
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了 429 + 253 = 682 袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案，可
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是巴比仑人却是先在泥板上的小槽上分别放上:4 个， 2 个，
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9 个的金属球，这代表了 429。然后在置放 4 个金属球的小槽
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上添加 2 个小球，中间槽上添加 5 个小球，最后的小槽上添加
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3 个小球。
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现在最后一列的小槽上有 12 个小球，巴比仑人就取掉十
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个，在中间那个槽里添上 1 个小球－这也就是「逢十进一」。
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最后泥板上的数字 682 就是加的结果。这不是很好玩吗？
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（图二）我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加
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法。
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六十进位制目前是较少用到，除了在时间上我们说:一小
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时 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他场合我们都是用十进位制。
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可是你知道吗？就是古代的巴比仑人定下一年有叁百六十
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五天， 十二个月，一个月有二十九天或叁十天，每七天为一个
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星期，一个圆有叁百六十度，一小时有六十分，一分有六十秒
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等等，我们现代还是继续采用。
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考古学家在一块长叁又八分之一吋，宽二吋，厚四分之叁
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吋的泥板书上发现了巴比仑人的记数法。
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这泥板的中间从上到下有像（图四）的符号:读者可以看
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出这是代表:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
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这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀，但可以看到泥板书的右边
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前五行是形如:
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很明显的这应该代表 10,20,30,40,50。
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可是接下来的却是这样的符号:
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如果我们前面知道的符号是写成:
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1 1,10 1,20 (缺叁个) 2 2,10
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这是什么意思呢？考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30,
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40,50的次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
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是否那个 1 的符号也可以代表 60 呢？如果是的话那么 1,10
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就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那个
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将代表 2 × 60 = 120了。很明显 2,10是代表 120 + 10 = 130。
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这样的猜测是合理的，由于巴比仑人没有符号表示零，而
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他们采用的是 60 进位制，因此同样一个符号可以代表 1 或 60。
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没有零符号在记数上是很容易产生误会，比方说:可以
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看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
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到了两千年前巴比仑人才采用表示零。
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因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
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从此巴比仑人小于 60 的数字的记数可以看出他们懂得「位值原理」。
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巴比仑人怎样进行除法?#092;算？
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从一些泥板书里可以看出底下的对应。
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2 30 16 3,45 45 1 ,20
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3 20 18 3,20 48 1 ,15
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4 15 20 3 50 1 ,12
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5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
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6 10 25 2,24
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8 7,30 27 2,13,20
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9 6,40 30 2
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10 6 32 1,52,30
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12 5 36 1,40
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15 4 40 1,30
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如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书，你能瞭解这是什么
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意思吗？四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比仑人的「倒数表」。我
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现在把以上的表改写:
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T0^6t.C,{3g n
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#T)o(^k7h:dM
你可以看出这就是把整数 n 的倒数1/n用六十进的分数来表示。比方说 27
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对应 2,13,20意思就是:
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^/Z UId;J
5`8H3H;]XA1X
PN!~k$e ^
你会注意到以上的表缺少了:7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
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这是什么原因呢？
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原来是这样:巴比仑人只列下以六十进位制的分数表示式是有限长的那些整
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数，而这些整数只能是 2a3b5c（这里a,b,c是大于或等于零的整数）的样子。
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o^D*z Fbhm D
k
对于 7 来说，它的倒数如果是以六十进位数表示将得到循环分数，即 8,34,17,
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8,34,17,....直到无穷。对于 11 也是如此，我们得到 5,27,16,21,49 然后重覆以上的样
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式以至无穷。
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为什么要构造这样的「倒数表」呢？
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{9Cr a)Nn
我们在小学学计算:先学加，然后学减。先学乘，然后学除。如果现在要算
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a ÷ b ，我们可以把这问题转化成为 a × ()，这样只要知道 b 的倒数，我们就「
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化除为乘」，计算有时是会快捷一些。
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古代的巴比仑人也懂得这个道理，因此在实际生活上，如在灌溉、计算工资
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、利息、税项、天文等问题上遇到除的问题，就儘可能将它转变为乘的问题来解
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决，这时候「倒数表」就很有用了。
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祖冲之
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法国巴黎的「发现宫」科学博物馆中友祖冲之的大名与他所发现
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的圆周率值并列。他曾经算出月球绕地球一周为时27.21223日，与现代
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公认的27.21222日，在那个时代能有那么伟大的成就，实在让人佩服，
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难怪西方科学家把月球上许多「火山口」中的一个命名为「祖冲之」。
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2Is.WA `Y$[
而即使在社会主义共产国家「老大哥」苏俄，在莫斯科国立大学礼堂
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廊壁上，用彩色大理石镶嵌的世界各国着名的科学家肖像中，也有中国
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的祖冲之和李时珍，祖氏有那么杰出的表现，我们不能不对他稍有认识。
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阿基米德
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阿基米德最有名的名言，就是:「给我一个立足点，我就可以
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移动地球。」他一生专心研究科学上的体积和浮力问题，有一个有
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趣的故事，就是当时候国王叫金匠打造一顶纯金的皇冠，国王因为
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怀疑金匠加了杂物，就请阿基米德鑑定，阿基米德一直在想鑑定的
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方法，就在他走进浴缸里洗澡的时候，看见满出去的水时，悟出体
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积的原理，他高兴的跑出浴室，大叫:「我找到了！」一时忘了自
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己是光着身体呢！另外，阿基米德还有几何方面的数学成就哩！
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阿基米得是第一位讲科学的工程师，在他的研究中，使用欧几
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理得的方法，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻
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求一般性的原则而用于特殊的工程上。他的作品始终融合数学和物
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理，因此阿基米得成为物理学之父。
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他应用槓桿原理于战争，保卫西拉斯鳩的事迹是家喻户晓的。
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而他也以同一原理导出部分球体的体积、迴转体的体积（椭球、迴
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转拋物麵、迴转双曲面），此外，他也讨论阿基米得螺线（例如:
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苍蝇由等速旋转的唱盘中心向外走去所留下的轨迹），圆，球体、
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圆柱的相关原理，其成就，在古时无人能望其项背。
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阿基米得将欧几理得提出的趋近观念作了有效的?#092;用，他提出
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圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的
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周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。他先用六边形，以后
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逐次加倍边数，到了九十六边形，求π的估计值介于3.14163和3.14286
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之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。而他最得
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意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的叁分之二倍。这定
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理就刻在他的墓碑上，也成为他名垂千古的一大注记。
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毕达哥拉斯
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毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊
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撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭，年青时曾到过埃及和巴比仑那里学
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习数学，游历了当时世界上二个文化水准极高的文明古国。毕达哥
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拉斯后来就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和
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他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。
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毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点；因为
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他容许妇女（当然是贵放妇女而不是奴隶女婢）来听课。他认为妇
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女也是和男人一样在求知的权利上平等，因此他的学派中就有十多
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名女学者。这是其他学伤鶡o的现象。
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传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个都该懂些几何。
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有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人
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建议:如果这人能学懂一个定理，那么他就给他一块钱币。这个人
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看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却
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产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议:
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如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达
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哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
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毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一场城市暴动中，
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他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中，这坟墓就
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像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们
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对这学者的重视。
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I:y3rG F y'M8Z,x
毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会，崇拜整数、分数为偶像，他们认
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为透过对数的瞭解，可以揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实是
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一个宗教性社团组织。入会时需宣誓不得将数学发现公诸于世，甚
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至在毕氏死后，有成员因公开正12面体可由12个正五边形构成的发
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现而被迫浸水致死。他们集中注意于研究自然数和有理数，特别是
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完美数，它是本身正因数（除了本身之外）之和，例如:6=1+2+3、
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28=1+2+4+7+14。他们认为上帝因为6是完美的，因此选择以6天创造
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万物，且月亮绕行地球一周约28天。
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毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会后不久，撰造了「哲学家(philosopher)」
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一词，在一次出席奥林匹亚竞赛时，弗利尤司的里昂王子问他会如何
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描述自己，他回道:「我是一位哲学家。」他解释说:「有些人因
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爱好财富而被左右，令一些人因热中于权力和支配而盲从，但是最
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优秀的人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的
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奥秘，热爱知识，这种人就是哲学家。」
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「在一个直角叁角形，斜边的平方是两股平方和。」这个定理
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中国人（周朝的商高）和巴比伦人早在毕氏提出前一千年就在使用，
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但一般人仍将定理归属于毕达歌拉斯，是因为他证明了定理的普遍性。
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毕氏认为寻找证明就是寻找认识，而这种认识比任何训练所累积的经
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验都不容置疑，数学逻辑是真理的仲裁者。
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毕氏很少公开露面，他虽然向学生教授数学和哲学，但绝不允
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许学生将之是外传，也因为兄弟会隐瞒数学发现，渐渐引起居民的
#S"j S*uAx~M [ ]
畏惧、妄想和猜忌。后来因学派介入了政治事件，与学校所在地科落顿
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行政当局发生冲突，终于诱使居民毁了这学派，80岁时毕氏在一次夜
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间骚乱中被杀，而避居国外的信徒，继续传播他们的数学真理。
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对毕达歌拉斯而言，数学之美在于有理数能解释一切自然现象。
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这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至
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导致他一个学生被处死。这位学生名叫希帕索斯，出于无聊，他
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试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，
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也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是
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他的老师毕氏却不悦。因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，
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无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的
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成果一定经过了一段时间的讨论和深思熟虑，毕氏本应接受这新
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数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑
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推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将
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希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数
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才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是
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无理数。
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