您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 关于可导与连续的关系

可导必连续（逆否命题是不连续必不可导），连续不一定可导，这个大家都已经知道了。可是我还有点不清晰的地方，希望和大家讨论一下。wI[3uo
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（1）1p|z? E&Q2e'b}

;dF(^w8Ky(f M0BqC     在《数学复习全书理工类》第二章考核知识要点“分段函数求导法”方法三（我不说具体页数了，因为我的书版本较老，和大家的不一样）中说道：
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rE uD u$V vnq “设 f(x) 在 x0 的空心邻域内可导且 f(x) 在 x0 处连续。若存在极限（x->x0）lim f ' (x) =A ， 则 f ' (x0) =A 。”
:T0O.M/N^E `-S cU6E }1W U@Pp
       在这句话中的条件中要求 x0 处是连续的，我毫不怀疑其正确性。但看过下面第（2）条再说我的问题所在。kqmrhr#A
Z]2S#ch$U
K^%A8tAv`/|/N)D
（2）jD:Ng&`6F$j!^
    还是在本章，常考题型及其解题方法与技巧，某例题（我的书上是例2.42）的分析中说：_6o)xvD4l4v
D7w\/V{7mI
“我们可先讨论f(x)在x=0处的可导性（意思是说先不必讨论连续性）。因为当 f(x) 在x=0可导 或 f ' + (0) 、f ' -(0)均存在但不等时，均可以得到 f(x) 在 x=0 连续。”eZL"l)~3J
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    照这句话的意思，只要在某点左右导数都存在（相等或者不相等），那么在该点就是连续的。$F"kt,Wh0rY
    再看第（1）条，f(x)在x0邻域内可导，就是说x0的左右导数存在（相等或者不相等），也就隐含了在x0是连续的啊。那么第（1）条是不是就不应该再强调验证在x0的连续性啊（因为此时已经一定是连续的了）？
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Z6S^&?Z*vU2nj n/t5g;?3]m&a3g
希望大家看明白了我的意思。我的理解有什么不对或者不严谨的地方吗？ 希望大家好好讨论一下，在给我某些结论时请务必说明理由啊！先谢谢大家！

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左右导数既然存在，那么肯定连续，主语原因，看定义

给你说吧，导数定义极限存在的话，那么就会有上面（分子）limf(x+0x)-f(x)=0这不就是连续的概念？你说是不？汗了

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 我想我看明白了楼主要问的问题了
waz(]`oH%T
\4m 关键是“f(x)在x0（空心）邻域内可导，就是说x0的左右导数存在”不一定成立
O H C l-E^ (x)在x0空心邻域内可导是表明领域内任意一点可导，而左右导数是趋近极限的概念两者没有必然联系

回复 #4 路飞的信徒 的帖子

好深奥，你怎么理解成那样哈？晕，你这话又是什么意思呢？

回复 #5 aihujing 的帖子

楼主的意思应该是命题1的 “f(x) 在 x0 处连续”是否是多余的，而不是问左右导数存在是否连续。)e"P+n"PN5O;r
也别太小看楼主了[qq:20]

回复 #6 路飞的信徒 的帖子

这个这个，呵呵，不好意思哈

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) [quote]原帖由 [i]路飞的信徒[/i] 于 2008-6-29 09:57 发表 [url=http://bbs.kaoyan.com/redirect.php?goto=findpost&pid=22005107&ptid=2297879][img]http://bbs.kaoyan.com/images/common/back.gif[/img][/url]
GU9G9Zj`9[`(n1ud
楼主的意思应该是命题1的 “f(x) 在 x0 处连续”是否是多余的，而不是问左右导数存在是否连续。
Oa*qCLkd;c?yh [/quote]
8CD)u,q,xx E.u6KJy3[ v8s/Y%f
我就是这个意思，呵呵。

条件里给的是“f(x) 在 x0 的空心邻域内可导”
8F;V/qHtQ{ 这个条件也得不出f(x)在x0的左右导数存在

回复 #9 魂断调剂道 的帖子

我以为右邻域可导则分界点有右导数，左邻域可导则分界点有左导数。或者说以为某点有右导数则其右邻点就有左导数，而该点有左导数则其左邻点就有右导数。能详细讨论一下我的观点在哪个具体的地方不对，并给出理由吗？ 或者举出具体反例也行。拜托！

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 给你个经典反例
E@XX#o-zka1Q y f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0) ，1(x=0)
VE g)C~)IS f(x)在x=0处不连续，不连续则左右导数均不存在，但在其左右邻域内是可导的
R_'g?;kf 看看我转发的文章，相信你就明白了._8Q1o DI9Bo1H
[url]http://bbs.kaoyan.com/thread-2298036-1-1.html[/url]

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 回复 #11 魂断调剂道 的帖子

辛苦了，我早知道我肯定是有错误的，但一直找不到在哪儿。看了你的回复、你转发的文章以及你在我另一帖中的回复，我想找到我的错误之处了，不过需要回去消化吸收再强化一下。
,Nz/LP&q Ac7Z
DjbR%v n
o` iN:j 现在让我握住你的手，含情脉脉的说：谢谢，谢谢！！1

回复 #4 路飞的信徒 的帖子

一开始没仔细体味你的意思，现在再来看看，你的确指出了我的关键错误所在。你看懂了我的问题，而我却没仔细看你的答复——说得肉麻点：你懂我而我不懂你，哈哈哈哈
oM(i'[Yn(@1m7D$mk 谢谢了啊！

回复 #13 baichuan4u 的帖子

把问题想简单了，不好意思啊

回复 #4 路飞的信徒 的帖子

感觉很模糊，如果说左右导数是趋近极限问题，那么也有如果一点可导必有左右导数存在且相等啊，那么任何一点可导不也是左右趋近的极限问题？

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 回复 #11 魂断调剂道 的帖子

怎么看了你转发的帖子（说实在的我没看懂，一是我水平所限，二是用的符号和格式以及表达上有点乱）我更迷茫了，呵呵。就说其中的某些结论：“导函数在某点的单侧极限存在，则该点的同侧导数就存在，若此左右极限又相等，那么极限就是该点的导数，这就是说用导函数的单侧极限可以求导数值。”怎么这里又不用讨论连续性了？你不是给我举出过例子： f(x)=x (x不等于0时)且f(x)=1(x=0时) 用来说明导函数的极限存在而函数不是连续从而不可导吗？

回复 #16 baichuan4u 的帖子

我也不是很看的明白，我个人理解是，导函数在某点单侧极限存在的话，右极限存在则右导数存在，而两边导数相等，则这点可导，就是说可以用单侧极限求导数，导数极限存在而两边不等也不可导吧，至于连续性，我也不知道去哪了

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) 回复 #16 baichuan4u 的帖子

那个定理的前提条件就是ｆ(ｘ)在区间[ｘ0，ｘ0+h](h>0)内连续，所以不矛盾，那个结论只是说明了定理的意义，自身并不独立。定理是完整的，不过好像导数符号给漏了，已经补上。9Y,V%o` aF+vW

5l,ZF'\1g3J 回复 #17 aihujing 的帖子&f7]aSEO1b"Ugi
例子已经比较清楚了，函数在某点不连续，就算导函数在这点极限存在，当然还是不可导p/o3|J4V)c
6X:l-Z'[rj|j
[[i] 本帖最后由 魂断调剂道 于 2008-6-29 20:31 编辑 [/i]]

还是魂断理解地透彻

回复 #19 路飞的信徒 的帖子

令我郁闷的是，比我复习的时候理解还透彻

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) [quote]原帖由 [i]魂断调剂道[/i] 于 2008-6-29 20:27 发表 [url=http://bbs.kaoyan.com/redirect.php?goto=findpost&pid=22009285&ptid=2297879][img]http://bbs.kaoyan.com/images/common/back.gif[/img][/url]
.ZH2Aqbj5v!V 那个定理的前提条件就是ｆ(ｘ)在区间[ｘ0，ｘ0+h](h>0)内连续，所以不矛盾，那个结论只是说明了定理的意义，自身并不独立。定理是完整的，不过好像导数符号给漏了，已经补上。1O/O6r7Y"xX~ I
[/quote]UnU"\&e2@)N
0t7S%p1Qz!tH
嗯，是我断章取义了。本来就看不懂，所以没仔细看。

回复 #20 魂断调剂道 的帖子

不习惯在网上看书，眼睛都900了

导数存在则左右导数肯定存在。若左右导数存在且等于该点的函数值则应该可导啊！为什么4楼说它们是不同的概念呢？我糊涂了