设A，B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换

“设A，B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换”6cB+P |n
估计复习线代的研友们都碰到过这个推理，可是我老想不出

求高手指教，如何证明呢

想不出来

证明题首先想到定义法，此题也不例外

您所查看的帖子来源于考研论坛(bbs.kaoyan.com) A,B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换
?+EH.CAc 必要性：
1ppt'ye({Y A,B,AB都是正定矩阵, 那么(根据定义)A,B,AB一定是实对称矩阵,~3K-Mg"SH$j'T@L;EO
所以有 AB=(AB)'=B'A'=BA
&`9z:V8m&~2I
m/D1i 因而A与B是可交换的;
h0g9^:yR/Di :k
r%fw6E"R;Bw"S&Pb
充分性：
)Q$e8q.u {7f E A,B正定，那么(根据定义)A和B是对称矩阵，A'=A,B'=B8K w#Mn d0fu'x\
因为AB=BA，那么(AB)'=B'A'=BA=AB，这就说明AB也是对称矩阵。 bz0r*[X5zz
由于A与B正定，所以存在可逆矩阵P和Q满足 A=P'P，B=Q'Q r],G~PZ'k
@;B-M
所以QAB(Q^(-1))=Q(P'P)(Q'Q)(Q^(-1))=QP'PQ'=(PQ')'PQ~ t%OvvL G`"o
这说明对称矩阵AB相似于正定矩阵(PQ')'PQ
rhx'`LX2R1Rh,A^ 所以AB也是正定矩阵

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