laoou62 2006-11-24 14:33
MBA联考共享笔记——数学重点习题
MBA联考共享笔记——数学重点习题
1、 设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）
【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5
2、 设A是3阶矩阵，b1,b2,b3是线性无关的3维向量组，已知Ab1=b1+b2, Ab2=-b1+2b2-b3, Ab3=b2-3b3, 求 |A| （答案：|A|=-8）
【思路】A= （等式两边求行列式的值,因为b1,b2,b3线性无关,所以其行列式的值不为零,等式两边正好约去,得-8）
3、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先
预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。
【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7x0.5^3+......C(10 10)0.5^10, 即为11/64.
4、 成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值
【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)
由此求得a=k/(1/q+1+q)
所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.
对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.
其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)
5、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。
【思路】可以有两种方法：
1.用古典概型 样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；
2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，得5/13
假设事件A：至少出现两个正面；B：恰好出现三个正面。
A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2
P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16
A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16
所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。
6、 设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,....n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。（答案：1）
【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。
7、 若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?
(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1
【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-38
8、 设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):
(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 .....
【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。
9、 一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张 ，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。
【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿
则需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？
10、 设Ａ是４＊３矩阵且Ｒ（Ａ）＝２，Ｂ＝ 求Ｒ（ＡＢ）
【思路】R(B)=3
so: R(AB)=R(A)=2
11、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,
求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.
【思路】最小号码为5 的概率：
号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出
故组合的个数为 所以概率为 /C ＝10/120＝1/12
同样最大号码为5的概率：
号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出
故组合的个数为C 所以概率为C /C ＝6/120＝1/20
12、 从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。
4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为：C ＝10×8×6×4
任取4只的组合数为：10×9×8×7
所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21
故至少2只成对的概率为1－8/12＝13/21
13、 设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4
同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8
14、 设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,
所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。
(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）
15、 求极限： lim( )x-1/2 (x趋于正无穷）；
【思路】lim =lim(1- )
把它的指数整理成（((x+6）/3)*(3/2)-7/2）, 就可得结果：
or lim[(x+3)/(x+6)]^(x-1/2)x->正无穷
=lim[(x+3)/(x+6)]^x/2 * lim[(x+6)/(x+3)]1/2
=lim[(1+3/x)/(1+6/x)]x/2
=lim{[1+3/x]^[(x/3)*(3/2)]}/{[1+6/x]^[(x/6)*3)]}
=lim(e3/2)/(e3)=
16、 求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n) (n趋于正无穷）；
【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n)n->正无穷
=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3).....(1-1/n)(1+1/n)
=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3......* (n-1)/n * (n+1)/n
=lim(n+1)/2n=1/2
17、 求极限：lim ( x->0)
【思路】此题需要连用三次使用罗必塔法则。正确答案为：-0.5e
注意(x+1)1/x=e
18、 如果数列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,...),则{An}的通项公式An＝？
【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>
A2/A1=2 , A3/A2=2^2 .....
(A2/A1)*(A3/A2)*......*( An /An-1)=2 22...... 2n-1
=> An /A1=2 (1+2+...+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2
19、 设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。
【思路】分别设四球为1号, 2号，3号和4号
1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能
3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能
所以应为4*3*4*4/44
20、 甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)
【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)
已知f(xy)=f(x)+f(y)且f'(1)=a,x≠0，求f'(x)=? (答案为a/x)
【思路1】原方程两边对Y进行求偏导
xf'(xy)=f'(y) 其中f'(xy)与f'(y)都是对y偏导数
xf'(x*1)=f'(1)=a 得 f'(x)=a/x
【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)
由f'(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x
=f(1+⊿x/x)/⊿x =f'(1)/x=a/x
已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y
【思路1】设U=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f'x=f'u*u'x+f'v*v'x=v*1+u*1=u+v
f'y=f'u*u'y+f'v*v'y=v-u
f'x+f'y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A
【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),
令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).
结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。
已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？答案为（-2，-1）U（3，4）
【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入计算即可
A,B是一次随机实验的两个事件，则————
A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A
【思路】b,利用定义可得
已知随机变量X的密度的函数是：
f(x)=
其中m>0，A为常数，则概率P{m<X<m+a} (a>0)的值一定是：____
A、与a无关，随着m的增大而增大
B、与m无关，随着a的增大而增大
C、与a无关，随着m的增大而减少
D、与m无关，随着a的增大而减少
【思路】P{m<X<+∞} (a>0)= dx=Ae-m=1 A=em
P{m<X<m+a}=F(m+a)-F(m)= -
= =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a a>0 答案为B
设X是连续型随机变量，其分布函数是F(X),如果EX存在，则当x->+∞时，1-F(x)是1/x的___。
A、等价无穷小 B、高价无穷小
C、低价无穷小 D、同价无穷小
【思路】由于EX存在，xf(x)的无穷积分收敛且为1／x的高阶无穷小；
因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无穷小，则xf(x)不收敛。
设有编号为1，2，3，...,n的n个求和编号为1，2，3，...,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同；
而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!；
［注意：上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1－1／2！＋1／3！－...＋（-1）^(n-1)/n!;］
故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)；
给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);
2者相乘得出：恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当n趋于无穷大时，取法为（n!/2）*[e^(-1)];
【思路】如果以m代替2，通解为
C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-m)/(n-m)!)
注：机工版P52页21题如下：
设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20
设随机变量X的分布函数为F（x),则Y=-2logF(X)的概率密度函数P（y)=_________.
【思路】F（y)=P（Y y）=P（-2logF(X) y）=P{F(X) e-y/2},
令F(X0)= e-y/2,因为F(X)是非减函数，
故事件F(X) F(X0)= e-y/2等价于事件X X0,
则P{F(X) e-y/2}=P（X X0）=1-P（X X0）=1-F(X0)=1- e-y/2，
P（y)=[F（y)]’=（1/2）e-y/2
一个盒子里有红球一只，白球一只，黑球一只，每次从盒子里取一个球，观察颜色后放回再取，直到三种颜色的球都取到为止。求取球的次数不少于6次的概率。
【思路】Ai=第i次三种颜色的求全取到i 3,B=取球的次数不少于6次，
所求概率是P(B)=P(A6)+P(A7)+P(A8)+...
K 3时，第K次取到三个球时，前K-1次取到另两种颜色的球，
故P(AK)= [2K-1-2]/3K{意思是前K-1次时，每一次从两种颜色中取，去掉同色的两种情况，第K次取第三种颜色}=
P(B)= =分解为两个等比数列求和=31/81
库房有十箱零件（每箱都有许多），有6箱用新工艺做的，全合格。其余用旧工艺完成，75％的合格率。现随机打开一箱取出三个，检查其中一个为合格品，求另外两个也合格的概率。
（答案为41/41=0.85）
【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工艺 C=旧工艺
P（B）=0.6 P（A/B）=1 P（C）=0.4 P（A/C）=3/4
所求：P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）
P（A1）=P（B）P（A1/B）+P（C）P（A1/C）=0.9
P（A1*A2*A3）=P（B）P（A1*A2*A3/B）+P（C）P（A1*A2*A3/C）
=0.6+0.4*（3/4）3
P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）=41/48
【思路2】由题可知首先取到的零件是新工艺还是旧工艺生产应是两
个互斥事件，所以令：A=新工艺生产 =旧工艺生产
B=取到一个合格品 C=另两个也合格
则：由题知，P（A）=0.6 P（ ）=0.4 P（B/A）=1 P（B/ ）=0.75
求：P（CB/B）=？
解：∵P（AB）=0.6×1=0.6 P（ B）=0.4×0.75=0.3
∴P（B）=P（AB）+P（ B）=0.9
又∵P（C/AB）=1×1=1 P（C/ B）=0.75×0.75=0.5625
（注意，题中给出每箱中零件是大量的，所以其概率直接用0.75乘以0.75）
∴P（CAB）=1×0.6=0.6 P（C B）=0.5625×0.3=0.16875
∴P（CB）=0.6+0.16875=0.76875
∴P（BC/B）=0.76875÷0.9=41/48=0.8541
由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？
【思路】 5！/2=300
用排列组合的对称思想可以理解上面的解法,举个简单例子：5个人排队，甲必须排在乙左边的排法？5人全排列时，甲不在乙的左边就在乙的右边，故排法是1/2*5！。
袋子中标号1-9的球，从中不放回取4个，求所取的4个球标号和的期望。（E=20）
【思路】记xi为第i次取的球，i=1，2，3，4
E(Y=x1+x2+x3+x4)=E(x1)+E(x2)+E(x3)+E(x4)=4*(1/9)*(1+2+3+...+9)=20
（这道题有放回和无放回的答案相同）
设n个人排成一排，甲乙是其中两个人，求这n个人的任意排列中，甲乙之间恰有r个人的概率。
【思路1】1、先将甲、乙2人排列：P（2，2）
2、甲乙之间R人：P（r,n-2）
3、将甲乙及之间r人看作一整体，与其他n-r-2做排列
所求P=P（2，2）*P（r,n-2）*(n-r-1)!/n!=2*(n-r-1)/n(n-1)
【思路2】P= =
袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出3球，求
(1)、顺序为黑白黑的概率
(2)、2只黑球的概率
(3)、有放回的取3次，求取得两只黑球的概率。
【思路】(1) P=6*5*5/11*10*9=5/33
(2) P=C(2,5)C(1,5)/C(3,11)=5/11
用组合式子：陆续取3球等价于一次取三球，有2球为黑的概率，不考虑顺序
也可以用排列式子，相当于黑白黑+黑黑白+白黑黑之和
3*6*5*5/11*10*9
有15球，5个为白球，把它们随机装进5个盒子，每盒3个，记X为有白球的盒子数，则E（X）=？
【思路】15个球放入5个盒子，每盒3个，共有 c(3,15)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种
设 xi=1，第i个盒子内有白球 ,
xi=0，第i个盒子内无白球(i=1,2,3,4,5)
xi=1时，第i个盒子内可能有白球1，2，或3个
对应的可能为c(1,5)c(2,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种,
c(2,5)c(1,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种，和c(3,5)*c(0,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种 。
也可以先求xi=0;对应为c(0,5)c(3,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)种 .
P{xi=1}=1-p{xi=0}=67/91;
E(xi)=67/91
故有白球的盒子个数位E(x1+x2+x3+x4+x5)=5*67/91=3.68
在n*n个小格子的棋盘上,随机地划出由若干个小方格组成的矩形,求:恰好组成正方形的概率.
【思路】设xi=i,yj=j为取出的矩形的长和宽。
则i=1,2,3,....n;j=1,2,3,...n.
x1有n-1+1=n种可能，x2有n-2+1种可能，...xn有n-n+1=1种可能
共有n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2
故p{xi=i}=(n-i+1)/(n(n+1)/2)
同理P{yj=j}=(n-j+1)/(n(n+1)/2)
正方形为i=j
p{x=i,y=i}=P{x=i}P{y=i}
P{正方形}=∑p{x=i,y=i}=∑(n+1-i) 2/(n(n+1）/2)^2i=1,2,3,....,n
因为∑(n-i+1) 2=n 2+(n-1) 2+....+1=n(n+1)(2n+1)/6
所以P{正方形}=(n(n+1)(2n+1)/6)/(n(n+1）/2) 2=
10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有（）种？
【思路1】1号盒子可以放1—5个球，2号盒子可以放2—6个球，3号盒子可以放3—7个球，我的答案共15种。
【思路2】三个盒子必须分别至少放1，2，3个球，剩下4 个不同的放法即所求数。
1， 只放在一个盒 子中：C（3，1）
2， 放在两个盒子中：C（3，2）*3
3， 放在三个盒子中：C（3，1）
此三项相加得15。
648的正约数的个数是______。(20)
648=23*34
【思路】正约数为4*5=20个.
（2有3个,共有取0,1,2,3个四种可能.
3有4个,共有取0,1,2,3,4个5种可能. 所以4*5=20）
5n + 13n （ n 是偶数）除以3的余数是_____。 (2)
【思路】5n =(6-1) n = (-1) n =1,13 n =(12+1) n =1 n =1 余2
设集合A的元素个数为 ，则集合A的含奇数个元素的子集的个数是 ______。
【思路】c(1,n)+c(3,n)+....=1/2*[c(0,n)+c(1,n)+c(2,n)+...+c(n,n)]=1/2*2 n =2 n-1